高中数学北师大版必修五 3.1 第2课时 等比数列的性质 课件(36张)

发布时间:2021-06-16 02:13:11

第2课时 等比数列的性质 1.结合等差数列的性质,了解等比数列的性质和由来. 2.理解等比数列的性质及应用.(重点) 3.掌握等比数列与等差数列的综合应用.(难点) [基础· 初探] 教材整理 1 等比数列的单调性 阅读教材 P23 思考交流以下 P24 例 3 以上部分,完成下列问题. 等比数列的单调性 对于等比数列{an},通项公式 an=a1· q 分析当 q>0 时的单调性如下表: n-1 a1 n =q· q .根据指数函数的单调性,可 a1 q的范围 {an}的 单调性 0<q<1 a1>0 q=1 q>1 0<q<1 a1<0 q=1 q>1 常数 常数 数列 数列 数列 递减 . 递增 . 递增 . 递减 数列 . 列 列 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)数列-1,-2,-4,-8 是递减数列.( (2)当 q<0 时,等比数列{an}是递减数列.( ) ) ) (3)当 a1>0,q>1 时,等比数列{an}是递增数列.( 【解析】 (1)a1<0,q>1,该数列是递减数列. (2)当 q<0 时,数列为摆动数列. (3)当 a1>0,q>1 时{an}为递增数列. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理 2 等比中项 阅读教材 P25 练* 2 以上最后两段部分,完成下列问题. 等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G, 使 a, G, b 成 等比数列 , 那么称 G 为 a,b 的 等比中项,且 G= ± ab . (1)2+ 3与 2- 3的等比中项为________. (2)在 2 和 8 之间插入两个数 m, n 使 2, m, n,8 成等比数列, 则 m· n=________. 【解析】 (1)设 2+ 3与 2- 3的等比中项为 m,则 m2=(2+ 3)(2- 3), 所以 m=± 1. m 8 (2)由 2 =n得 m· n=16. 【答案】 (1)± 1 (2)16 [小组合作型] 等比中项 等比数列{an}的前三项的和为 168,a2-a5=42,求 a5,a7 的等比中 项. 【导学号:47172009】 【精彩点拨】 设出等比数列的公比和首项,结合条件列出方程组求解 a5、 a7,然后求等比中项. 【尝试解答】 设该等比数列的公比为 q,首项为 a1, 因为 a2-a5=42, 所以 q≠1,由已知得 2 ? ?a1+a1q+a1q =168, ? 4 ? a q - a q ? 1 1 =42, 2 ? ?a1?1+q+q ?=168, 所以? 3 ? ?a1q?1-q ?=42, ② ① 因为 1-q3=(1-q)(1+q+q2), 1 所以由②除以①,得 q(1-q)=4, 1 42 所以 q=2,所以 a1= =96. 1 ?1?4 ? ? 2-?2? 若 G 是 a5,a7 的等比中项, 则应有 G =a5a7=a1q · a1q 2 4 6 1 10 2 10 2 =a1q =96 ×? ? =9, ?2? ? ? 所以 a5,a7 的等比中项是± 3. 应用等比中项解题的两个注意点: (1)要证三数 a,G,b 成等比数列,只需证明 G2=ab,其中 a,b,G 均不为 零. (2)已知等比数列中的相邻三项 an-1,an,an+1,则 an 是 an-1 与 an+1 的等比中 项,即 a2 n=an-1an+1,运用等比中项解决问题,会大大减少运算过程. [再练一题] 1 1 1 1.已知 a,b,c 是实数,若 a,b,c 成等比数列,且a,b,c成等差数列, c a 求a+c 的值. 【解】 因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac, 1 1 1 2 1 1 又a,b,c 成等差数列,所以b=a+c , ?1 1? 4 ?1 1?2 4 2 2 2=? + ? , 2×b =? + ? ×ac b ?a c ? b ?a c ? c a 所以a+c =2. XXX 等比数列的综合应用 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1). (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3=15,又 a1+b1,a2 +b2,a3+b3 成等比数列,求 Tn. 【精彩点拨】 (1)可借助 Sn-Sn-1=an(n≥2)来求出 an. (2)根据题目中的条件列方程求出 d,再求 Tn. 【尝试解答】 (1)因为 an+1=2Sn+1,① 所以 an=2Sn-1+1(n≥2),② 所以①②两式相减得 an+1-an=2an,即 an+1=3an(n≥2), 又 a2=2S1+1=3, 所以 a2=3a1, 故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, ∴an=3n-1. (2)设{bn}的公差为 d,由 T3=15 得,可得 b1+b2+b3=15,可得 b2=5, 故可设 b1=5-d,b3=5+d, 又因为 a1=1,a2=3,a3=9,并且 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列, 所以可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2, 解得 d1=2,d2=-10. ∵等差数列{bn}的各项为正, ∴d>0, ∴d=2, n?n-1? ∴Tn=3n+ 2 ×2=n2+2n. 求解等差、等比数列综合的问题的技巧 (1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系. (2)发挥两个数列的基本量 a1,d 或 a1,q 的作用,并用好方程这一工具. (3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验. [再练一题] 2.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+?+a3n-2. 【解】 (1)

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